等差数列的前n项和
单位： 山东省惠民第一中学 姓名： 魏巍
本课出现在人教版高中数学必修五第二章第三节。
下面本人从教材分析、教学目标、教法学法和教学过程四个方面来表述对这节课的教学设想。
一、教材分析
1、地位和作用
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型．高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列．本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式及其简单应用．它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着密切的联系；同时，又为后面学习等比数列前n项和、数列求和等内容做好准备．并且等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。因此，本节课既是本章的重点也是教材的重点．
2、重、难点分析
等差数列前n项和公式是数列中学习的第一个求和公式，这个公式的推导过程运用了倒序相加法，学生不但可以掌握数列中一类重要的求和方法，同时也为后面求和作好思想上的引导与知识上的准备。因此，我把本节课的重难点设定如下：
（1）重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及简单应用
（2）难点：①对公式推导过程中归纳出一般规律的理解与领会
②灵活应用公式解决一些简单的有关问题
二、教学目标
根据本课的教材特点、新大纲对本节课的教学要求、学生身心发展的合理需要，我从三个不同的方面确定了以下教学目标：
【知识与技能】（直接性目标）
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
【过程与方法】（发展性目标）
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平.
【情感态度价值观】（可持续性目标）
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。体会模仿与创新的重要性。使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力．
三、教法学法
数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，进行理性思考。为此我设计如下教法和学法：
1．教学方法
在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程。在教学策略上我采用：以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用。遵循学生的认知规律，采用探究式教学。在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。
2．学法指导
新课标的理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”．因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：
（1）提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳．
（2）提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题．
（3）提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说．
（4）提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．
四、教学过程
“数学是思维的体操”，课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性．为此，在具体教学过程中，我把本节课分为以下：“创设情境 ——课题引入——探究新知——应用举例——课堂小结——布置作业”六个阶段来完成．
（一）创设情境
引入高斯上小学时的小故事
（设计意图：源于历史，富有人文气息．激发学习兴趣。）
问题1：1+2+3+ ⋯ +100=？
学生大都听过数学家高斯小学时的故事，对这个问题很熟悉，因此很快利用高斯首尾配对的方法得出结果．但是学生对高斯首尾配对的算法可能只处于简单的记忆模仿阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，接着提出下面问题。
问题2：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，9 . 问共有多少根圆木？请用简便的方法计算.即1+2+3+⋯ + 9=?
这是求奇数项和的问题，不能简单模仿偶数项求和的方法，需要启发学生观察中间项5与首、尾两项1和9的关系．通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数项、偶数项两种情况求和．进而提出有没有更简单的方法?
（设计意图：借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，获得算法： 。）
问题3：求1到n的正整数之和，即1+2+3+⋯ +n=?
1 + 2 + … + n-1 + n
n + n-1 + … + 2 + 1
（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）
可知
（设计意图：从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进，为下面推导等差数列前n项和作好必要的知识铺垫．）
（二）课题引入
问题4：数列 的前n项和为 ，即 ，
如何求等差数列的 呢？（板书本节课题）
（设计意图：使学生明确本课学习的内容）
（三）探究新知
由于有了前面的知识准备，学生完全可以自已推导出等差数列的前n项和公式，教师板书过程即可。
①
②
由①+②，得
由此得到等差数列 的前n项和的公式 。
（设计意图：学生类比联想前面方法，水到渠成的推导出等差数列的前n项和公式，学生经历公式的推导过程，获得了发现的成就感，优化了思维品质，体会了数形结合的数学思想，体验了从特殊到一般的研究方法．教师板书过程规范解题格式，让学生掌握倒序相加法。）
把 代入 中，就可以得到 。
引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道 和n，不同点是第一个公式还需知道 ，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
（四） 应用举例
例1： 为备战2008年奥运会，“世界飞人”刘翔的主教练孙海平制定了今年8月1 日至7日的训练计划：每天的训练量(110米栏训练次数)如下表：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
训练量 20 22 24 26 28 30 32
试求刘翔七天的训练量的总和．
（设计意图：这是一道根据课本例题改编的应用题目，以刘翔为例，以2008奥运会为背景，可以充分激发学生的学习兴趣，调动学习的主动性，体现在数学生活中的广泛性．同时本题给了许多数据信息，既可以利用公式一，也可以利用公式二．通过两种方法的比较，引导学生根据已知条件灵活选用公式，便于计算．）
例2: 已知等差数列一1O，一6，一2，2，⋯
(1)前多少项的和是54?
(2)用n表示前n项和 ?
（设计意图：问题一主要练习公式的逆用，方程思想“知三求一”．问题二通过 与n的关系式加强学生对公式的进一步认识，等差数列的前n项和 可以看成是项数n的函数，深化了学生对函数的认识，从而启发学生从函数的观点来研究等差数列前n项和的最值、单调性、对称性等问题，为下一节课的教学打下伏笔．）
反馈练习：由学生自主板演，教师点评，充分调动学生的积极性通过学生对所学知识的反馈过程，来了解学生对知识的掌握情况
（五） 课堂小结
1、回顾从特殊到一般的研究方法；
2、倒序相加的算法，及数形结合的数学思想；
3、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方程的思想。
（设计意图：为了使课堂知识条理化、系统化，同时培养学生的总结概括能力，教师引导学生从思想方法和知识内容两方面进行小结）
（六） 布置作业
必做题：课本52页A组第1、3、6
选做题：课本53页B组第4题
（设计意图：根据学生的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题、解决问题的能力，将课后作业分为必做题和选做题，达到分层教学的目的。）
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